Typical Loss and its gradient
-
MSE(Mean Squared Error)
- loss=∑(y−y^)2loss = \sum(y-\hat{y})^2loss=∑(y−y^)2
- L2−norm=∣∣y−(xw+b)∣∣2L2-norm = ||y-(xw+b)||_2L2−norm=∣∣y−(xw+b)∣∣2
- loss=norm(y−(xw+b))2loss = norm(y-(xw+b))^2loss=norm(y−(xw+b))2
介绍一下各种norm
常用的norm有L1-norm,L2-norm即L1,L2范数。那么问题来了,什么是范数?
在线性代数以及一些数学领域种,norm的定义是
a function that assigns a strictly positive length or size to each vector in a vector space, except for the zero vector. ——Wikipedia
对于一个p-norm,严格定义是
$$
||X||p := (\sum{i=1}^n |x_i|^p)^\frac{1}{p}
$$
其中当p取1时,被称为L1-norm,p取2时,被称为L2-norm根据上述公式,L1-norm的定义也就得到了,∣∣X∣∣<em>1:=∑</em>i=1n∣xi∣||X||<em>1 := \sum</em>{i=1}^n |x_i|∣∣X∣∣<em>1:=∑</em>i=1n∣xi∣
同理,L2-norm,∣∣X∣∣<em>2:=(∑</em>i=1n∣xi∣2)12||X||<em>2 := (\sum</em>{i=1}^n |x_i|^2)^\frac{1}{2}∣∣X∣∣<em>2:=(∑</em>i=1n∣xi∣2)21,L2展开就是熟悉的欧几里得范数,∣∣X∣∣2:=x12+⋅⋅⋅+xn2||X||_2 := \sqrt{x_1^2 + ··· + x_n^2}∣∣X∣∣2:=x12+⋅⋅⋅+xn2
Derivative
- loss=∑[y−fθ(x)]2loss = \sum[y-f_\theta(x)]^2loss=∑[y−fθ(x)]2
- ∇loss∇θ=2∑[y−fθ(x)]∗∇fθ(x)∇θ\frac{\nabla\text{loss}}{\nabla{\theta}}=2\sum{[y-f_\theta(x)]}*\frac{\nabla{f_\theta{(x)}}}{\nabla{\theta}}∇θ∇loss=2∑[y−fθ(x)]∗∇θ∇fθ(x)
接下来用代码进行详解
import torch # 假设构建的是 pred = wx + b 的线性模型 # 令x初始化为1,w为dim = 1,值为2的tensor,b假设为0 x = torch.ones(1) print(x) w = torch.full([1],2) print(w)
分别输出x和w的值分别为
tensor([1.])
,tensor([2.])
引入pytorch中的功能包,使用mse_loss功能
import torch.nn.functional as F mse = F.mse_loss(input=x*w, target=torch.ones(1)) # x*w为label值,target为pred值 print(mse)
输出
tensor(1.)
上面的结果进行了运算 (1−2)2\sqrt{(1-2)^2}(1−2)2
在实际使用求导功能中,我们一般使用
autograd.grad
功能(自动求导)进行运算API为:
torch.autograd.grad(pred, [w])
,括号内依次为预测值和要求导的参数print(torch.autograd.grad(mse, [w]))
此时输出会报错
element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn
这是由于w参数在初始化时并没有赋予其导数信息,pytorch不知道w需要求导信息,因此在进行求导时会报错。因此在进行此类计算时必须要对需要求到的参数进行更新。更新代码为:
.requires_grad_()
,最后面的_
是进行了repalce(替换)操作在进行更新操作后,还需要进行动态图更新,即重新设置求导信息
w.requires_grad_() mse = F.mse_loss(x*w, torch.ones(1)) print(torch.autograd.grad(mse, [w]))
输出为
(tensor([2.]),)
上面的结果进行了运算2∗(1−2)∗(−1)=22*(1-2)*(-1) = 22∗(1−2)∗(−1)=2
以后在设置需要求导的参数时,直接在创建tensor时,即加入
requires_grad=True
即可x = torch.ones(1) w = torch.full([1], 2, requires_grad=True) import torch.nn.functional as F mse = F.mse_loss(x*w, torch.ones(1)) print(torch.autograd.grad(mse, [w]))
对比上文,更简便的办法是使用
.backward()
函数进行求导# 首先构建tensor x = torch.ones(1) w = torch.full([1], 2, requires_grad=True) # 构建动态图,完成MSE的构建 mse = F.mse_loss(torch.ones(1), x*w) # 对其求导时直接对设定的loss使用.backward()函数 mse.backward() # 对设定的loss信息进行从后向前传递 # 使用参数.grad函数即可输出相应的求导信息 print(w.grad)
输出
tensor([2.],)
在此总结两种求导方法
torch.autograd.grad(loss, [w1,w2,...])
,该函数返回的是∇loss∇w1,∇loss∇w2,…\frac{\nabla\text{loss}}{\nabla{w1}},\frac{\nabla\text{loss}}{\nabla{w2}},…∇w1∇loss,∇w2∇loss,…loss.backward()
,想查看某个变量的导数信息,直接调用.grad
即可。例如print(w1.grad)