Typical Loss and its gradient

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MSE(Mean Squared Error)

• $loss=\sum (y-\hat{y}{)}^2$
• $L2-norm=||y-(xw+b)|{|}_2$
• $loss=norm(y-(xw+b){)}^2$

介绍一下各种norm

常用的norm有L1-norm，L2-norm即L1，L2范数。那么问题来了，什么是范数？

在线性代数以及一些数学领域种，norm的定义是

a function that assigns a strictly positive length or size to each vector in a vector space， except for the zero vector. ——Wikipedia

对于一个p-norm，严格定义是
$$
||X||p := (\sum{i=1}^n |x_i|^p)^\frac{1}{p}
$$
其中当p取1时，被称为L1-norm，p取2时，被称为L2-norm

根据上述公式，L1-norm的定义也就得到了，$||X||<em>1:=\sum </em>{i=1}^n|x_i|$

同理，L2-norm，$||X||<em>2:=(\sum </em>{i=1}^n|x_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$，L2展开就是熟悉的欧几里得范数，$||X|{|}_2:=\sqrt{x_1^2+\cdot \cdot \cdot +x_n^2}$

Derivative

• $loss=\sum [y-f_{\theta }(x){]}^2$
• $\frac{\nabla \text{loss}}{\nabla \theta }=2\sum [y-f_{\theta }(x)]\ast \frac{\nabla f_{\theta }(x)}{\nabla \theta }$

接下来用代码进行详解

import torch
# 假设构建的是 pred = wx + b 的线性模型
# 令x初始化为1，w为dim = 1，值为2的tensor，b假设为0
x = torch.ones(1)
print(x)
w = torch.full([1],2)
print(w)

分别输出x和w的值分别为tensor([1.])，tensor([2.])

引入pytorch中的功能包，使用mse_loss功能

import torch.nn.functional as F
mse = F.mse_loss(input=x*w, target=torch.ones(1))
# x*w为label值，target为pred值
print(mse)

输出tensor(1.)

上面的结果进行了运算 $\sqrt{(1-2{)}^2}$

在实际使用求导功能中，我们一般使用autograd.grad功能（自动求导）进行运算

API为: torch.autograd.grad(pred, [w])，括号内依次为预测值和要求导的参数

print(torch.autograd.grad(mse, [w]))

此时输出会报错

element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn

这是由于w参数在初始化时并没有赋予其导数信息，pytorch不知道w需要求导信息，因此在进行求导时会报错。因此在进行此类计算时必须要对需要求到的参数进行更新。更新代码为：.requires_grad_()，最后面的_是进行了repalce（替换）操作

在进行更新操作后，还需要进行动态图更新，即重新设置求导信息

w.requires_grad_()
mse = F.mse_loss(x*w, torch.ones(1))
print(torch.autograd.grad(mse, [w]))

输出为(tensor([2.]),)

上面的结果进行了运算$2\ast (1-2)\ast (-1)=2$

以后在设置需要求导的参数时，直接在创建tensor时，即加入requires_grad=True即可

x = torch.ones(1)
w = torch.full([1], 2, requires_grad=True)
import torch.nn.functional as F
mse = F.mse_loss(x*w, torch.ones(1))
print(torch.autograd.grad(mse, [w]))

对比上文，更简便的办法是使用.backward()函数进行求导

# 首先构建tensor
x = torch.ones(1)
w = torch.full([1], 2, requires_grad=True)
# 构建动态图，完成MSE的构建
mse = F.mse_loss(torch.ones(1), x*w)
# 对其求导时直接对设定的loss使用.backward()函数
mse.backward()
# 对设定的loss信息进行从后向前传递
# 使用参数.grad函数即可输出相应的求导信息
print(w.grad)

输出tensor([2.],)

在此总结两种求导方法

• torch.autograd.grad(loss, [w1,w2,...])，该函数返回的是$\frac{\nabla \text{loss}}{\nabla w1},\frac{\nabla \text{loss}}{\nabla w2},\dots$
• loss.backward()，想查看某个变量的导数信息，直接调用.grad即可。例如print(w1.grad)