Batch Normalization

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Batch Normalization（批量归一化）是深度学习中经常用到的一种归一化方法

我们知道Sigmoid函数在定义域为 $(−∞,−4)∪(4,∞)(-\infty,-4) \cup (4,\infty)$ 内导数趋于0，由于容易出现梯度消失的现象，因此ReLU函数使用的较多

但在某些场合不可避免的要去使用Sigmoid函数，因此我们希望能把输入的 $x$ 值控制在有效的区间内，进行一个等效变化，使这些值均匀的分布在0附近，这样输入到Sigmoid函数后就能大概率避免梯度消失

如下面左侧的图所示， $x_1$ 的值处于一个比较小的区间 $x_2$ 的值处于一个比较大的区间，因此对于 $w_2$ 来说，少量的变化就会对Loss产生急剧的变化，而对 $w_1$ 来说，变化就会相对小一点，可以看下面的“等高线”图，沿着纵轴方向变化的话，等高线会急剧的变化，沿着横轴方向变化，等高线的变化就稍平缓一点

但如果如右图所示，输入的值区间都很接近，这样 $w_1$ 和 $w_2$ 对Loss的影响就比较接近，就会形成一种“圆形”路径，在这种情况进行搜索的时候，不管从哪个点出发，梯度的方向都是指向全局最小解的方向，这种搜索过程会比较快一些，而且更稳定

Batch Normalization较多的应用于两个方面

Image Normalization，例如对RGB三通道进行Normalization，将数据进行统一缩放

normalize = transforms.Normalize(mean=ean[0.485, 0.456, 0.406],
                                 std=[0.229, 0.224, 0.225])

mean有三个值，分别对应RGB三个通道的均值，具体的Normalize过程就是
$$
\begin{align*}
x_R&= \frac{x_R-0.485}{0.229} \
x_G&= \frac{x_G-0.456}{0.224} \
x_B&= \frac{x_B-0.406}{0.225} \
\end{align*}
$$

常见的Normalization

目前常见的Normalization有四种，将输入的图像shape记为[N,C,H,W]，这几个方法主要区别是：

BatchNorm：batch方向做归一化，计算NHW的均值，对小batchsize效果不好；(BN主要缺点是对batchsize的大小比较敏感，由于每次计算均值和方差是在一个batch上，所以如果batchsize太小，则计算的均值、方差不足以代表整个数据分布)
LayerNorm：channel方向做归一化，计算CHW的均值；(对RNN作用明显)
InstanceNorm：一个batch，一个channel内做归一化。计算HW的均值，用在风格化迁移；(因为在图像风格化中，生成结果主要依赖于某个图像实例，所以对整个batch归一化不适合图像风格化中，因而对HW做归一化。可以加速模型收敛，并且保持每个图像实例之间的独立)
GroupNorm：将channel方向分group，然后每个group内做归一化，算(C//G)HW的均值；这样与batchsize无关，不受其约束

详述Batch Normalization

如下图，输入数据是6张3通道784个像素点的数据，将其分到三个通道上，在每个通道上也就是[6,784]的数据，然后分别得到和通道数一样多的统计数据均值 $μ\mu$ 和标准差 $σ\sigma$ 。将每个像素值减去 $μ\mu$ ，除以 $σ\sigma$ 就变换成了近似于 $N (0, 1)$ 分布的数据，之后再用参数 $γ\gamma$ 和 $β\beta$ 将其变化到近似 $N(β,γ)N(\beta, \gamma)$ 的分布

$μ\mu$ 和 $σ\sigma$ 只是样本中的统计数据，是没有梯度信息的，不过会保存在运行参数里。而 $γ\gamma$ 和 $β\beta$ 属于训练的参数，是有梯度信息的

Batch Normalize的规范化写法为

前三步是batch normalization的工序，经过这三步以后数据就近似于标准正态分布 $N (0, 1)$ ，但是后面的公式还有一个反向操作，将normalize后的数据再平移和扩展，让数据近似于 $N(β,γ)N(\beta, \gamma)$ ，这位为了让神经网络自己去学着使用和修改这两个扩展参数，这样神经网络就能自己慢慢琢磨出前面的normalization操作到底有没有起到优化的做哟个，如果没有起到优化的作用，就用 $γ\gamma$ 和 $β\beta$ 来抵消一些normalization的操作

下面具体看一下在PyTorch中如何实现Batch Normalize

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

# 随机生成一个Batch的模拟,100张16通道784像素点的数据
# 均匀分布U(0~1)
x = torch.rand(128, 16, 784)
# 将28*28变为打平为一维的784
layer = nn.BatchNorm1d(16)
# Batch Normalization层,因为输入是将高度H和宽度W合成了一个维度,所以这里用1d
# 因为Batch Norm的参数直接是由channel数量得来的，因此这里直接给定了channel的数量为16，后续会输出16个channel的统计信息
out = layer(x) # f orward

print(out.shape)
print(layer.running_mean) # 全局的均值
print(layer.running_var) # 全局的方差

运行结果

tensor([0.0500, 0.0498, 0.0499, 0.0501, 0.0500, 0.0502, 0.0500, 0.0500, 0.0500,
        0.0500, 0.0499, 0.0501, 0.0500, 0.0499, 0.0499, 0.0502])
tensor([0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9083, 0.9083, 0.9083,
        0.9083, 0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9083, 0.9083, 0.9083])

注意layer.running_mean和layer.running_var得到的是全局的均值和方差，不是当前Batch上的，只不过这里只跑了一个Batch而已所以它就是这个Batch上的。现在还没有办法直接查看某个Batch上的这两个统计量的值

x = torch.randn(1, 16, 7, 7)  # 1张16通道的7乘7的图像

# Batch Normalization层,因为输入是有高度H和宽度W的,所以这里用2d
layer = nn.BatchNorm2d(16)  # 传入通道数
out = layer(x)

print(out.shape)
print(layer.running_mean)  # 全局的均值
print(layer.running_var)  # 全局的方差
print(layer.weight)  # weight也就是前面公式里的gamma
print(layer.bias)  # bias也就是前面公式里的beta

运行结果

torch.Size([1, 16, 7, 7])
tensor([ 0.0187,  0.0125, -0.0032,  0.0032,  0.0034,  0.0031,  0.0231, -0.0024,
         0.0002,  0.0194, -0.0097,  0.0177,  0.0324, -0.0013,  0.0128, -0.0086])
tensor([0.9825, 0.9799, 0.9984, 0.9895, 0.9992, 0.9809, 0.9919, 0.9769, 0.9928,
        0.9949, 1.0055, 1.0368, 0.9867, 0.9904, 1.0097, 0.9910])
Parameter containing:
tensor([0.5925, 0.5662, 0.1066, 0.0073, 0.9517, 0.0476, 0.0416, 0.2041, 0.8666,
        0.6467, 0.7665, 0.0300, 0.9050, 0.8024, 0.2816, 0.1745],
       requires_grad=True)
Parameter containing:
tensor([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
       requires_grad=True)

注意这里的layer.weight和layer.bias是当前batch上的

如果在定义层时使用了参数affine=False，那么就是固定$\gamma = 1$和$\beta=0$不自动学习，这时参数layer.weight和layer.bias将是None

总结

使用了 $γ\gamma$ 和 $β\beta$ 之后，最后得到的分布是往 $N(β,γ)N(\beta, \gamma)$ 上靠的，而不是往 $N (0, 1)$ 上靠的

使用了Batch Normalization让Converge（收敛）的速度加快了，这个可以直观理解，使用了靠近0的部分的Sigmoid激活，其梯度信息更大了。并且能够得到一个更好的解

提升了Robust（鲁棒性），这使得网络更加稳定，这可以从最前面第二张图所示来直观理解，如果参数有大有小，解空间像左边一样，那么稍微调整学习率可能就发生抖动（如图中左侧椭圆解空间上下方向走，且学习率太大时）或者训练速度太慢（如图中右侧椭圆解空间左右方向走，且学习率太小时）。这让超参数的调整没有那么敏感