Flooding-X: 超参数无关的 Flooding 方法【ICML 2020】

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ICML2020的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》提出了一种Flooding方法，用于缓解模型过拟合，详情可以看我的文章《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》。这里简单过一下，论文提出了一个超参数$b$，并将损失函数改写为

其中，$b$是预先设定的阈值，当$\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$ > $b$时$\tilde{\mathcal{L}}(\mathbf{\theta })=\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$，这时就是执行普通的梯度下降；而$\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$<$b$时$\tilde{\mathcal{L}}(\mathbf{\theta })=2b-\mathcal{L}(\mathbf{\theta })$，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以$b$为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为Flooding

这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现 “二次下降（Double Descent）”，如下图

我们可以假设梯度先下降一步后上升一步，学习率为$\epsilon$，通过泰勒展开可以得到

其中，${\mathbf{\theta }}_n$表示第$n$次迭代的参数，$g({\mathbf{\theta }}_{n-1})={\nabla }_{\mathbf{\theta }}\mathcal{L}({\mathbf{\theta }}_{n-1})$表示损失对参数${\mathbf{\theta }}_{n-1}$的梯度。式(2)的结果相当于以$\frac{{\epsilon }^2}{2}$为学习率、损失函数为梯度惩罚$|g(\mathbf{\theta })|{|}^2=||{\nabla }_{\mathbf{\theta }}\mathcal{L}(\mathbf{\theta })|{|}^2$的梯度下降

详细的推导过程见《我们真的需要把训练集的损失降到零吗？》

Achilles’ Heel of Flooding

Flooding的阿喀琉斯之踵在于超参数$b$，我们需要花非常多的时间寻找最佳的阈值$b$，这并不是一件容易的事

Achilles’ Heel（阿喀琉斯之踵）阿喀琉斯是古希腊神话故事中的英雄人物，刀枪不入，唯一的弱点是脚后跟（踵）。后用于来比喻某东西的致命缺陷

下图展示了使用BERT在SST-2数据集上不同的阈值$b$对结果的影响（黄色区域是最佳结果）。可以看出，$b$的设置对结果的影响非常大

Gradient Accordance

ACL2022的投稿有一篇名为《Flooding-X: Improving BERT’s Resistance to Adversarial Attacks via Loss-Restricted Fine-Tuning》的文章，以"梯度一致性"作为开启Flooding的"阀门"，而不再采用超参数$b$。具体来说，我们首先定义包含参数$\mathbf{\theta }$的模型$f$，考虑一个样本$x$以及真实标签$y$，它们的损失为$\mathcal{L}(f(\mathbf{\theta },x),y)$，损失关于参数的梯度为

其中，式(3)的负值就是参数$\mathbf{\theta }$更新的方向。现在我们考虑两个样本$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$的情况，根据上述定义，样本1的梯度为

对于样本1来说，参数更新所导致的损失变化为

将$f(\mathbf{\theta },x_1)$通过泰勒展开变形得

$\frac{f(\mathbf{\theta }-\epsilon {\mathbf{g}}_1,x_1)-f(\mathbf{\theta },x_1)}{\epsilon {\mathbf{g}}_1}=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{\theta }}$

我们将$\epsilon {\mathbf{g}}_1\frac{\partial f}{\partial \mathbf{\theta }}$记作$T(x_1)$，并对$\mathcal{L}(f(\mathbf{\theta },x_1),y_1)$做类似的泰勒展开得

根据式(6)可以推出第一个等号，约等于是从泰勒展开推导的，具体来说

$\frac{\mathcal{L}(A+T(x_1),y_1)-\mathcal{L}(A,y_1)}{T(x_1)}={\mathcal{L}}^{\prime }$

将式(7)带入式(5)得

类似的，参数根据样本$(x_1,y_1)$更新后，在样本$(x_2,y_2)$上的损失差为$\Delta {\mathcal{L}}_2=-\epsilon {\mathbf{g}}_1\cdot {\mathbf{g}}_2$

值得注意的是，根据定义，$\Delta {\mathcal{L}}_1$是负的，因为模型是对于$(x_1,y_1)$更新的，自然就会导致其损失的降低。如果$\Delta {\mathcal{L}}_2$也是负的，那么在$(x_1,y_1)$上更新的模型被认为对$(x_2,y_2)$有积极的影响。上面的等式表明，这种共同关系相当于两个样本的梯度${\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2$之间的乘积，我们称其为梯度一致性（Gradient Accordance）

Coarse-Grained Gradient Accordance

上面提到的可以看作是样本级别的梯度一致性，由于其粒度太细，计算起来非常复杂，因此我们将其应用到batch级别的粗粒度上进行计算

考虑训练过程中包含$n$个样本的mini-batch $B_0$，其中样本$\mathbf{X}=x_1,x_2,\dots ,x_n$，标签$\mathbf{y}=y_1,y_2,\dots ,y_n$，其中$y_i\in c_1,c_2,\dots ,c_k$，即有$k$个类别。这些样本可以根据它们的标签拆分成$k$组（每组内的样本标签是一样的）

由此可以将$B_0$拆分成多个子batch的并集，$B_0=B_0^1\cup B_0^2\cup \cdots B_0^k$。我们定义两个子batch $B_0^1$和$B_0^2$的类一致性分数为

其中，${\mathbf{g}}_1$是模型在样本集$B_0^1$上的损失对参数的梯度，$\cos ({\mathbf{g}}_1,{\mathbf{g}}_2)=({\mathbf{g}}_1/|{\mathbf{g}}_1|)\cdot ({\mathbf{g}}_2/|{\mathbf{g}}_2|)$

类一致性可以用于判断：对类别$c_1$的样本集$B_0^1$进行梯度下降是否也会减少类别$c_2$所对应的样本集$B_0^2$的损失

假设一个Epoch中有$N$个batch，那么$B_s$与$B_t$的批一致性分数定义如下：

批一致性可以通过评估一个批次的参数更新对另一个批次的影响，量化两个批次的学习一致性。更具体地说，$S_{\text{batch accd}}$如果是正的，表示这两个批次处于相同的学习节奏下，每个批次更新的模型对它们都有好处

任意一个Epoch的梯度一致性最终定义为

Analysis and Discussion

实验结果这里就不放了，简单说一下就是作者使用了TextFooler、BERT-Attack、TextBugger三种攻击手段，以PGD、FreeLB、TAVAT等方法为Baseline进行对比，结果表明使用Flooding-X效果很好

从下图可以看出，当梯度一致性指标从负数变为正数时，测试集损失也开始上升，说明梯度一致性这个指标可以很好的当作是过拟合的信号

个人总结

2020年提出的Flooding本身就是一个非常有意思的Trick，可惜原论文作者也苦于超参数$b$的选择，因此其应用不算广泛。ACL2022这篇论文提出了梯度一致性的概念，让模型自己感知什么时候该进行Flooding，避免了超参数的选择问题

References

• 我们真的需要把训练集的损失降到零吗？
• Flooding-X: Improving BERT’s Resistance to Adversarial Attacks via Loss-Restricted Fine-Tuning